© Sashkin/Shutterstock.com
ลำดับฟีโบนัชชีเป็นหนึ่งในลำดับทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดตลอดกาลอย่างไม่ต้องสงสัย นักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ใช้ลำดับนี้มานานหลายศตวรรษในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ โดยตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีที่มีชื่อเสียงในยุคกลาง ชื่อฟีโบนัชชี
ลำดับฟีโบนัชชีคือชุดของตัวเลข โดยที่แต่ละหมายเลขที่ตามมาคือผลรวมของสองตัวก่อนหน้า โดยเริ่มจาก 0 และ 1 ลำดับนี้มักจะแทนด้วย Fn และมีลักษณะดังนี้: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 และอื่นๆ
แต่ เรื่องใหญ่คืออะไร? เหตุใดเราจึงควรสนใจเกี่ยวกับลำดับฟีโบนัชชี ปรากฎว่าลำดับนี้ไม่ใช่แค่ชุดตัวเลขตามอำเภอใจ
ลำดับฟีโบนัชชีพบได้ทั่วไปในธรรมชาติและในหลายๆ ด้านของวิทยาศาสตร์ และมีการนำไปใช้ที่สำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์และการเขียนโปรแกรม ความสำคัญของซีรีส์นี้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เกิดจากอัลกอริธึมต่างๆ ที่สามารถสร้างตัวเลขได้
ภาษาโปรแกรม เช่น Python มีฟังก์ชันในตัวเพื่อสร้างลำดับฟีโบนัชชี หากคุณสนใจที่จะทำความเข้าใจเกี่ยวกับอัลกอริทึมที่อยู่เบื้องหลังฟังก์ชันเหล่านี้ โปรดอ่านต่อ เพราะบทความนี้จะอธิบายถึงอัลกอริทึมและวิธีการหลัก 7 วิธีที่ใช้ในการสร้างตัวเลขฟีโบนัชชี
วิธีต่างๆ ในการสร้างโปรแกรมสำหรับตัวเลขฟีโบนัชชี
มีวิธี/วิธีการหลายวิธีในการสร้างตัวเลขฟีโบนัชชี ซึ่งแต่ละวิธีจะมีความซับซ้อนของเวลาและพื้นที่ต่างกันไป วิธีที่ตรงไปตรงมาที่สุดในการค้นหาหมายเลข Fibonacci ที่ n คือการใช้การเรียกซ้ำ
อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้ไม่มีประสิทธิภาพมากนัก และอาจนำไปสู่การคำนวณซ้ำซ้อนจำนวนมาก ดังนั้น เราจะสำรวจการเรียกซ้ำควบคู่ไปกับวิธีอื่นๆ เพื่อดูว่าวิธีใดที่ถือว่ามีประสิทธิภาพมากที่สุด
การเรียกซ้ำ
การเรียกซ้ำเป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ วิธีแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับวิธีแก้ปัญหาสำหรับอินสแตนซ์ขนาดเล็กของปัญหาเดียวกัน ในบริบทของลำดับฟีโบนัชชี วิธีแก้ปัญหาแบบวนซ้ำทำงานโดยแบ่งปัญหาในการหาหมายเลขฟีโบนัชชีที่ n ออกเป็นสองปัญหาเล็กๆ ได้แก่ การค้นหาหมายเลขฟีโบนักชี (n-1) และการค้นหาหมายเลขฟีโบนัชชี (n-2)
กระบวนการนี้วนซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงกรณีฐาน โดยที่ n คือ 0 หรือ 1 กรณีฐานแสดงถึงเงื่อนไขที่ฟังก์ชันต้องตอบสนองเพื่อหยุดการเรียกใช้ตัวเอง เมื่อพบแล้ว ฟังก์ชันจะส่งกลับ n สำหรับค่าอื่นๆ ทั้งหมดของ n ฟังก์ชันจะเรียกตัวเองซ้ำๆ โดยผ่าน n-1 และ n-2 เป็นอาร์กิวเมนต์/พารามิเตอร์
ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงโปรแกรม Python อย่างง่ายที่ใช้การเรียกซ้ำเพื่อสร้างตัวเลข Fibonacci:
def fibonacci(n):
if n=1: # กรณีฐาน
return n
else:
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
print(fibonacci(7)) # Output: 13
ฟังก์ชันจะตรวจสอบกรณีฐานก่อน ซึ่งจะส่งคืน n ถ้า n มากกว่า 1 ฟังก์ชันจะเรียกตัวเองซ้ำด้วย n-1 และ n-2 เป็นอาร์กิวเมนต์ และเพิ่มค่าที่ส่งคืนเข้าด้วยกัน เนื่องจากจำนวนที่ n ในลำดับฟีโบนัชชีมีค่าเท่ากับผลบวกของจำนวน (n-1)-th และ (n-2)-th ในลำดับ
การเรียกซ้ำดำเนินต่อไป จนกว่าจะถึงกรณีฐานและฟังก์ชันส่งคืนหมายเลขที่ n ในลำดับ เราสามารถรับความซับซ้อนของเวลาของ recursive solution ได้ — มันมีค่าเป็นเลขชี้กำลัง O(2n) เนื่องจากฟังก์ชันเรียกตัวเองสองครั้งสำหรับแต่ละค่าของ n
สิ่งนี้อาจไม่มีประสิทธิภาพอย่างรวดเร็วเมื่อ n มีขนาดใหญ่ขึ้น ทำให้วิธีนี้ใช้ไม่ได้กับค่า n ที่มากขึ้น ความซับซ้อนของสเปซคือ O(n) ซึ่งเป็นเส้นตรง เนื่องจากความลึกสูงสุดของทรีแบบเรียกซ้ำคือ n
การวนซ้ำ
การวนซ้ำเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากกว่าในการแก้ลำดับฟีโบนัชชี ปัญหา. วิธีการวนซ้ำเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาโดยดำเนินการชุดคำสั่งซ้ำๆ จนกว่าจะตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด
ในบริบทของลำดับฟีโบนัชชี วิธีการวนซ้ำจะทำงานโดยเริ่มจากตัวเลขฟีโบนัชชีสองตัวแรกและการคำนวณ หมายเลข Fibonacci ถัดไปโดยใช้สองตัวก่อนหน้า กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปจนกว่าจะคำนวณเลขฟีโบนัชชีตัวที่ n
ลำดับฟีโบนัชชีปรากฏครั้งแรกในต้นฉบับภาษาละติน “Liber Abaci” (1202) ซึ่งใช้ในการคำนวณการเติบโตของประชากรกระต่าย
©TippaPatt/Shutterstock.com
เราสามารถใช้โปรแกรมอย่างง่ายโดยใช้การวนซ้ำเพื่อสร้างตัวเลขฟีโบนัชชีด้วยวิธีต่อไปนี้:
def fibonacci(n):
if n==0:
คืน 0
elif n==1:
คืน 1
else:
fib1, fib2=0, 1
สำหรับ i ในช่วง (2, n+1):
fib=fib1 + fib2
fib1, fib2=fib2, fib
ส่งคืน fib2
ที่นี่ เรากำลังใช้การวนซ้ำเพื่อคำนวณหมายเลข Fibonacci ที่ n ในเวลาเชิงเส้น เราบรรลุเป้าหมายนี้โดยเริ่มจากตัวเลขสองตัวแรกในลำดับ (0 และ 1) และคำนวณตัวเลขถัดไปซ้ำๆ เป็นผลรวมของสองตัวก่อนหน้า
เราติดตามตัวเลขสองตัวก่อนหน้าในตัวแปรและอัปเดตในแต่ละการวนซ้ำ หลังจากการวนซ้ำ n ครั้ง เราจะคืนค่าจำนวนที่ n
ความซับซ้อนของเวลาของการแก้ปัญหาแบบวนซ้ำคือ O(n) ซึ่งเป็นเชิงเส้น นี่เป็นเพราะ for วนซ้ำ n-1 ครั้งเพื่อคำนวณหมายเลข Fibonacci ที่ n เนื่องจากฟังก์ชันใช้ตัวแปรจำนวนคงที่ในการคำนวณจำนวนฟีโบนัชชีที่ n ความซับซ้อนของสเปซคือ O(1) ซึ่งเป็นค่าคงที่
Memoization
Memoization เป็นวิธีการ แก้ปัญหาด้วยการจัดเก็บผลลัพธ์ของการเรียกฟังก์ชันราคาแพงและส่งคืนผลลัพธ์ที่แคชเมื่ออินพุตเดิมเกิดขึ้นอีกครั้ง
ในบริบทของลำดับฟีโบนัชชี โซลูชันการช่วยจำทำงานโดยจัดเก็บโซลูชันไว้ในปัญหาย่อยและส่งคืนผลลัพธ์ที่แคช หากมี
ด้วยวิธีนี้ โปรแกรมจะคำนวณโซลูชัน ให้กับปัญหาย่อยแต่ละปัญหาเพียงครั้งเดียวและนำมาใช้ซ้ำเมื่อจำเป็น
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการใช้การช่วยจำ:
def fibonacci(n, memo={}):
ถ้า n ในบันทึก:
คืนบันทึก[n]
elif n=1:
คืน n
else:
memo[n]=fibonacci(n-1, memo) + fibonacci(n-2, memo)
return memo[n]
ตัวอย่างนี้ใช้ค่าสูงสุด วิธีการลดลงเพื่อคำนวณหมายเลข Fibonacci ที่ n โดยแคชค่าที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้เพื่อหลีกเลี่ยงการคำนวณที่ซ้ำซ้อน ฟังก์ชันจะตรวจสอบก่อนว่าได้คำนวณและแคชค่าของหมายเลข Fibonacci ที่ n ในพจนานุกรม Python แล้วหรือไม่ ถ้ามีจะส่งกลับค่าแคช
หากยังไม่มี ระบบจะคำนวณค่าแบบวนซ้ำเป็นผลรวมของตัวเลข Fibonacci (n-1)-th และ (n-2)-th แคชค่าที่คำนวณได้ในพจนานุกรม และ คืนค่านั้น
ความซับซ้อนของเวลาของโซลูชันการช่วยจำคือ O(n) ซึ่งเป็นเส้นตรง เนื่องจากโปรแกรมจะคำนวณหมายเลข Fibonacci แต่ละหมายเลขเพียงครั้งเดียวและจัดเก็บไว้ในพจนานุกรมบันทึกช่วยจำเพื่อใช้ในอนาคต ความซับซ้อนของพื้นที่ยังเป็น O(n) ซึ่งเป็นเส้นตรง เนื่องจากพจนานุกรมบันทึกช่วยจำจะเก็บวิธีแก้ปัญหาย่อยไว้มากถึง n
Dynamic Programming
Dynamic Programming เป็นวิธีการแก้ ปัญหาโดยการแบ่งมันออกเป็นปัญหาย่อยที่เล็กลงและจัดเก็บวิธีแก้ปัญหาย่อยเหล่านี้เพื่อหลีกเลี่ยงการคำนวณที่ซ้ำซ้อน
ในบริบทของลำดับฟีโบนักชี โซลูชันการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกทำงานโดยการคำนวณตัวเลขฟีโบนัชชีในลักษณะจากล่างขึ้นบน และจัดเก็บโซลูชันในอาร์เรย์ ด้วยวิธีนี้ วิธีแก้ไขปัญหาย่อยแต่ละข้อจะถูกคำนวณเพียงครั้งเดียวและนำมาใช้ซ้ำเมื่อจำเป็น
พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:
def fibonacci(n):
fib=[0, 1]
สำหรับ i ในช่วง (2, n+1):
fib.append(fib[i-1] + fib[i-2])
return fib[n]
ฟังก์ชันนี้ใช้รายการ Python เพื่อจัดเก็บค่าที่คำนวณได้ของลำดับ โดยเริ่มจากค่าสองค่าแรก จากนั้นวนซ้ำจาก 2 ถึง n คำนวณค่า i-th เป็นผลรวมของค่า (i-1)-th และ (i-2)-th และจัดเก็บไว้ในรายการ สุดท้าย จะส่งคืนค่าที่ n ในรายการ
ความซับซ้อนของเวลาของโซลูชันการตั้งโปรแกรมแบบไดนามิกคือ O(n) ซึ่งเป็นค่าเชิงเส้น ความซับซ้อนของเวลาของอัลกอริทึมคือ O(n) เนื่องจาก for loop คำนวณหมายเลข Fibonacci ที่ n โดยการเรียกใช้ n-1 ครั้ง และการคำนวณแต่ละครั้งใช้เวลาคงที่
ยิ่งไปกว่านั้น ความซับซ้อนของพื้นที่ของอัลกอริทึมคือ O(n) เนื่องจากใช้รายการขนาด n เพื่อจัดเก็บวิธีแก้ปัญหาย่อย
Matrix Exponentiation
การยกกำลังเมทริกซ์เป็นวิธีการแก้ปัญหาโดยการเพิ่มเมทริกซ์ให้เป็นเลขยกกำลัง ในบริบทของลำดับฟีโบนัชชี สูตรเลขยกกำลังของเมทริกซ์ทำงานโดยใช้เมทริกซ์ที่มีเลขฟีโบนัชชีเพื่อเพิ่มกำลังของ n-1 เพื่อให้ได้เลขฟีโบนัชชีตัวที่ n
e สามารถใช้การยกกำลังของเมทริกซ์เพื่อ สร้างโปรแกรม Python สำหรับตัวเลข Fibonacci ดังที่แสดง:
import numpy as np
def fibonacci(n):
F=np.array([[ 1, 1], [1, 0]])
return np.linalg.matrix_power(F, n-1)[0, 0]
ในตัวอย่างนี้ เรา’กำลังใช้เทคนิคการยกกำลังเมทริกซ์เพื่อคำนวณเลขฟีโบนักชีตัวที่ n ในเวลาลอการิทึม ในการทำให้สำเร็จ เรายกเมทริกซ์ 2×2 ยกกำลัง n-1 แล้วคูณด้วยเวกเตอร์สถานะตั้งต้น [0, 1] เมทริกซ์ผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวเลข Fibonacci ที่ n และ (n+1)-th และเราจะส่งคืนตัวเลขที่ n
ความซับซ้อนของเวลาของโซลูชันการยกกำลังของเมทริกซ์คือ O(log n) ซึ่งแน่นอนว่าเป็นลอการิทึม อัลกอริธึมการหารและพิชิตที่ใช้ในการคูณเมทริกซ์ช่วยลดจำนวนการคูณที่ต้องการ ดังนั้น ความซับซ้อนของพื้นที่คือ O(1) ซึ่งเป็นค่าคงที่ เนื่องจากใช้หน่วยความจำจำนวนคงที่เท่านั้น
สูตรของ Binet
สูตรของ Binet เป็นสูตรโดยตรงสำหรับคำนวณ หมายเลข Fibonacci ที่ n โดยไม่ต้องคำนวณหมายเลข Fibonacci ก่อนหน้าทั้งหมด
สูตรมักเขียนเป็น: Fn=round((Φ^n – (1-Φ)^n)/√5) โดยที่ Φ (phi) คืออัตราส่วนทองคำ
สูตรของ Binet แนะนำว่า อัตราส่วนของตัวเลข Fibonacci สองตัวที่ต่อเนื่องกันมีแนวโน้มที่จะเป็นอัตราส่วนทองคำเมื่อ n เพิ่มขึ้น
©TippaPatt/Shutterstock.com
ในบริบทของลำดับฟีโบนัชชี สูตรของ Binet ทำงานโดยใช้อัตราส่วนทองคำ ซึ่ง คือ (1 + √5)/2 และคอนจูเกต ซึ่งก็คือ 1 – √5)/2
ตัวอย่างใน Python จะเป็น:
def fibonacci(n):
golden_ratio=(1 + 5**0.5)/2
return round((golden_ratio**n – (1 – golden_ratio)**n)/5**0.5 )
ฟังก์ชันแรกกำหนดอัตราส่วนทองคำ ต่อไป เราจะคำนวณเทอมที่ n โดยใช้สูตรของ Binet และส่งกลับค่าจำนวนเต็มแบบปัดเศษของผลลัพธ์
การใช้สูตรของ Binet นี้มีประสิทธิภาพในการคำนวณ เนื่องจากต้องใช้การคำนวณเลขคณิตอย่างง่ายเพียงไม่กี่ขั้นตอนในการคำนวณพจน์ใดๆ ของลำดับฟีโบนัชชี โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณเงื่อนไขก่อนหน้าทั้งหมด
สิ่งนี้พิสูจน์ได้จากความซับซ้อนของเวลาในสูตรของ Binet คือ O(1) ซึ่งเป็นค่าคงที่ นี่เป็นเพราะสูตรต้องการการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพียงเล็กน้อยเพื่อคำนวณหมายเลข Fibonacci ที่ n ความซับซ้อนของช่องว่างคือ O(1) ซึ่งเป็นค่าคงที่ เนื่องจากโปรแกรมใช้ตัวแปรเพียงไม่กี่ตัวในการคำนวณจำนวน Fibonacci ที่ n
Greedy Algorithm
Greedy Algorithm เป็นเทคนิค ใช้เพื่อแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ มันทำงานโดยการตัดสินใจที่ดีที่สุดในแต่ละขั้นตอนและหวังว่าการตัดสินใจจะนำไปสู่ทางออกที่ดีที่สุด อัลกอริทึมนี้เป็นไปตามกลยุทธ์”ละโมบ”ในการเลือกตัวเลขที่เป็นไปได้มากที่สุดในแต่ละขั้นตอนเสมอ
เราสามารถสร้างตัวเลขฟีโบนัชชีโดยใช้วิธีนี้โดยเริ่มจากกรณีฐานสองกรณี แล้ววนซ้ำในซีรีส์เพื่อค้นหา หมายเลขถัดไป
ขั้นแรก ให้บันทึกตัวเลขก่อนหน้าสองตัวในตัวแปรสองตัว แล้วเพิ่มเข้าไปเพื่อรับหมายเลขฟีโบนัชชีตัวถัดไป กระบวนการนี้ดำเนินต่อไปจนกว่าจะสร้างหมายเลขลำดับที่ n ในลำดับ
เราสามารถใช้โปรแกรมสำหรับหมายเลข Fibonacci โดยใช้อัลกอริทึม Greedy ด้วยวิธีง่ายๆ ดังนี้:
def fibonacci(n):
if n=1:
return n
prev, curr=0, 1
สำหรับ i ใน range(2, n+1):
prev, curr=curr, prev + curr
return curr
ก่อนอื่นเราตรวจสอบว่า n ตรงตามกรณีพื้นฐานหรือไม่ ซึ่งในกรณีนี้เราจะส่งคืนค่าที่เหมาะสม มิฉะนั้น เราจะสร้างรายการเพื่อจัดเก็บหมายเลข Fibonacci สองตัวก่อนหน้า (0 และ 1) จากนั้นใช้การวนซ้ำเพื่อสร้างหมายเลขถัดไปในลำดับโดยการเพิ่มตัวเลขสองตัวสุดท้ายในรายการ การวนซ้ำจะดำเนินต่อไปจนกว่าจะสร้างหมายเลขที่ n ในลำดับ ซึ่งเราจะส่งคืนค่านั้น
ความซับซ้อนของเวลาของ Greedy Algorithm คือ O(n) ซึ่งเป็นเชิงเส้น เนื่องจากเราต้องการ วนซ้ำ n ครั้งเพื่อสร้างหมายเลขที่ n ในลำดับ ความซับซ้อนของช่องว่างยังเป็น O(n) เนื่องจากเราจำเป็นต้องเก็บตัวเลขสองตัวก่อนหน้าในลำดับสำหรับการวนซ้ำแต่ละครั้ง
อย่างไรก็ตาม เราสามารถเพิ่มประสิทธิภาพความซับซ้อนของช่องว่างได้โดยการจัดเก็บเฉพาะตัวเลขสองตัวก่อนหน้าแทนที่จะเป็นตัวเลขทั้งหมดที่สร้างขึ้นจนถึงตอนนี้
การปัดเศษขึ้น
ลำดับฟีโบนัชชี เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญและไร้กาลเวลา โดยมีการประยุกต์ใช้มากมายในวิทยาการคอมพิวเตอร์และการเขียนโปรแกรม ด้วยอัลกอริทึมที่ถูกต้อง คุณสามารถสร้างหมายเลขฟีโบนัชชีใดๆ ได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย
โดยทั่วไป การวนซ้ำและการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกเป็นอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในแง่ของความซับซ้อนของเวลาและพื้นที่ ในขณะที่การยกกำลังของเมทริกซ์มีประสิทธิภาพมากที่สุดในแง่ของความซับซ้อนของเวลาสำหรับค่าที่มากขึ้นของ n การเรียกซ้ำเป็นวิธีที่ใช้งานง่ายที่สุด แต่ก็มีประสิทธิภาพน้อยที่สุดในแง่ของความซับซ้อนของเวลาและความซับซ้อนของพื้นที่
ท้ายที่สุดแล้ว อัลกอริทึมที่ดีที่สุดที่จะใช้ขึ้นอยู่กับปัญหาที่เกิดขึ้น ดังนั้น สิ่งสำคัญคือต้องทำความเข้าใจว่าเมื่อใดควรใช้แต่ละวิธีเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการทำงานของโปรแกรมฟีโบนักชี
โปรแกรมสำหรับตัวเลขฟีโบนัชชีพร้อมตัวอย่างคำถามที่พบบ่อย (คำถามที่พบบ่อย)
เกลียวอาร์คิมีดีส อัตราส่วนทองคำ ลำดับฟีโบนัชชี: เกี่ยวข้องกันอย่างไร
เกลียวอาร์คิมีดีสและลำดับฟีโบนัชชีสัมพันธ์กันผ่านอัตราส่วนทองคำ
อัตราส่วนทองคำเป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่เท่ากับอัตราส่วนของตัวเลขสองตัวในลำดับฟีโบนัชชี อัตราส่วนนี้สามารถพบได้ในรูปเกลียวของอาร์คิมิดีสเช่นกัน
ดังนั้น แนวคิดทั้งสามจึงสัมพันธ์กันและมีการนำไปใช้ที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และศิลปะ
อะไรคือความแตกต่างระหว่างการวนซ้ำและการวนซ้ำเมื่อสร้างตัวเลข Fibonacci?
การวนซ้ำเป็นเทคนิคที่ฟังก์ชันเรียกใช้ตัวเองเพื่อแก้ปัญหา ในขณะที่การวนซ้ำเป็นโครงสร้างวนซ้ำที่ทำซ้ำชุดของ คำแนะนำจนกว่าจะตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด
การเรียกซ้ำเป็นวิธีที่ตรงไปตรงมาที่สุดในการสร้างตัวเลข Fibonacci แต่ก็ไม่มีประสิทธิภาพเนื่องจากความซับซ้อนของเวลาแบบเอกซ์โปเนนเชียล การวนซ้ำมีประสิทธิภาพมากกว่าและสามารถคำนวณจำนวนที่ n ในเวลาเชิงเส้น
ลำดับฟีโบนัชชีถูกนำไปใช้กับวิทยาการคอมพิวเตอร์และการเขียนโปรแกรมอย่างไร
ลำดับฟีโบนัชชีมีแอปพลิเคชันมากมาย เช่น ในอัลกอริทึมสำหรับสร้างตัวเลขสุ่ม กราฟ ต้นไม้ อัลกอริทึมการเรียงลำดับ และการบีบอัดข้อมูล นอกจากนี้ ลำดับฟีโบนัชชียังใช้ในการเข้ารหัสและในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของอัลกอริทึม
ลำดับฟีโบนัชชีมีความสำคัญอย่างไร
บ่อยครั้ง ใช้เพื่อจำลองรูปแบบการเติบโตในธรรมชาติ เช่น การแตกกิ่งก้านของต้นไม้ การเรียงตัวของใบไม้บนลำต้น และเกลียวในเปลือกหอยหรือโคนต้นสน นอกจากนี้ยังใช้ในการวิเคราะห์ทางเทคนิคเพื่อทำนายแนวโน้มของตลาดและในการเข้ารหัสเพื่อสร้างตัวเลขสุ่ม
ตัวอย่างของตัวเลข Fibonacci ในธรรมชาติและศิลปะมีอะไรบ้าง
อัตราส่วนทองคำพบได้ในปรากฏการณ์ทางธรรมชาติหลายอย่าง เช่น เกลียวในพืชและสัตว์บางชนิด (เช่น สับปะรด ทานตะวัน เปลือกหอย ฯลฯ)
นอกจากนี้ยังพบในโครงสร้างบางอย่าง เช่น วิหารพาร์เธนอนในกรุงเอเธนส์ ประเทศกรีซ ดนตรี เช่น ซิมโฟนีที่ห้าของเบโธเฟน ศิลปะ เช่น โมนาลิซาของเลโอนาร์โด ดาวินชี และดาราศาสตร์ เช่น การโคจรของดาวเคราะห์รอบดาวฤกษ์